Uniformisierung ist eines der zentralen Konzepte der modernen Mathematik. Mit ihrer Hilfe werden komplizierte geometrische Objekte durch einfachere ersetzt, ohne dabei die lokale Struktur zu verändern. Die globale Information wird in der Wirkung einer geeigneten Symmetriegruppe aufgehoben. Diese Übersetzung der Komplexität in eine andere Sprache eröffnet neue Perspektiven für das Studium der ursprünglichen Objekte. Ein aktives und erfolgreiches Forschungsgebiet be-dient sich dieses Prinzips, um die Geometrie und Arithmetik algebraischer Varietäten zu verstehen.

Das Konzept der Uniformisierung ist vielfältig: Automorphe Formen entstehen als Funktionen, die mit den betreffenden Symmetrien kompatibel sind. Galoisdarstellungen, die aus der modernen Zahlentheorie nicht wegzudenken sind, kodieren arithmetische Symmetrien. Der Turm aller Überlagerungen zwischen dem ursprünglichen Objekt und seiner Uniformisierung spiegelt die „Wege“ eines Raumes wider und führt zu topologischen und kohomologischen Invarianten. Im „Paralleluniversum“ der positiven Charakteristik bereichert die Frobenius-Symmetrie die Geometrie auf unerwartete Art und Weise. Die spektakulären neuen Resultate von Peter Scholze schlagen eine Brücke zwischen klassischer Geometrie und positiver Charakteristik und stellen so die Frobenius- Symmetrie auch für klassische Fragen im Rahmen der Uniformisierung zur Verfügung.

Der SFB/TRR wird in allen Gebieten der Arithmetik und Geometrie eine führende Rolle spielen, in denen sich Uniformisierung als entscheidende Struktur herausstellt. Dabei verfolgen wir zweierlei Ziele: Wir wollen die Techniken der Uniformisierung in verschiedenen Bereichen weiterentwickeln. Außerdem wollen wir Uniformisierung auf zentrale geometrische und arithmetische Fragen an- wenden, insbesondere auf die globale Geometrie von Modulräumen und Shimura-Varietäten, auf die arithmetische Komplexität von Symmetriegruppen und auf das Zusammenspiel von Geometrie und Galoisdarstellungen.

Die Kernbereiche des SFB/TRR sind:
(A) Modulräume und automorphe Formen,
(B) Galoisdarstellungen und étale Invarianten,
(C) Kohomologische Strukturen und Degeneration in positiver                       Charakteristik.